Droites dans le plan Parallèles / Perpendiculaires

I. Droites, demi-droites et segments

Notation Signification Figure
[AB] ou [BA] Dire le segment [AB] est le segment d’extrémités A et B. (Fig. 1)
(AB) ou (BA) Dire la droite (AB) ou (BA), c’est la droite qui passe par les points A et B. (Fig. 2)
[AB) Dire la demi-droite [AB), c’est la demi-droite d’origine A passant par le point B. (Fig. 3)
A ∈ (d)
B ∉ (d)		 Le point A appartient à la droite (d).
Le point B n’appartient pas à la droite (d). 		(Fig. 4)

II. Points alignés

Définition

Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.

Remarque

Si un point de ces trois points n’appartient pas à la même droite, alors ces trois points ne sont pas alignés.
Exemple : fig. 6

Propriété

Par deux points distincts passe une seule droite, notée (AB) ou (BA).

Remarque

Par un seul point passent une infinité de droites.

III. Différents types de droites

Droites sécantes

Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un point en commun appelé point d’intersection.
Exemple : fig 7

Droites perpendiculaires

Ce sont deux droites sécantes formant un angle droit au point d’intersection.
Exemple : fig 8

Droites parallèles

Ce sont deux droites qui n’ont aucun point en commun.
Exemple : fig 9

Droites confondues

Ce sont deux droites qui ont plus d’un point en commun.
Exemple : fig 10

IV. Droites parallèles et perpendiculaires

Propriétés

  1. Par un point passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
  2. Par un point passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
  3. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Exemple : fig 13
  4. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont strictement parallèles.
  5. Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre. Exemple : fig 14
  6. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Exemple : fig 16

V. Le segment

Le segment [AB] est le segment d’extrémités A et B. On peut noter [BA] et la longueur du segment [AB] est notée AB ou BA, appelée la distance AB ou BA.

Le milieu d’un segment

I est le milieu du segment [AB] signifie : I ∈ [AB] et I équidistant de deux extrémités du segment A et B.

Exemple : fig. 17

VI. Le projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition

Dire que H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (d), si (AH) ⟂ (d) en H.
Exemple : fig 19

Distance entre un point et une droite

La distance entre le point M et la droite (d) est la distance entre le point M et son projeté orthogonal H.
Exemple : fig 20

La médiatrice d’un segment

Définition

On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Exemple : fig. 1

Propriété 1

Tout point appartenant à la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Exemple : fig. 2

Propriété 2

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Exemple : fig. 3